Mischung mit fünf Komponenten und Nebenbedingungen: ein Dispersionslack

Schritt 2 / Versuchsraum

Was die Nebenbedingungen vom Mischungsraum übrig lassen

Fünf Anteile, die sich zu eins summieren, spannen einen vierdimensionalen Körper auf. Ohne Grenzen wäre das ein regelmäßiger Simplex, und die klassischen Simplex-Pläne würden passen. Die Unter- und Obergrenzen schneiden daraus einen Körper mit 24 Ecken; die Summen- und die Verhältnisbedingung schneiden noch einmal und hinterlassen 28 Ecken. DoEStat berechnet diesen Körper aus den eingegebenen Bedingungen — die Verhältnisbedingung wird dabei als das geschrieben, was sie ist, eine Gerade: Bindemittel − 1,6 · Pigment ≥ 0.

Aus den Ecken, den Mitten der Kanten und Flächen und dem Schwerpunkt entstehen 124 Kandidatenpunkte. Alle zu fahren wäre Verschwendung: ein quadratisches Mischungsmodell für fünf Komponenten hat 15 Koeffizienten.

Schritt 4 / Modelle

Scheffé-Modelle: linear, und wo nötig mit Mischtermen

Mischungsmodelle haben keine Konstante — sie steckt in den linearen Termen, weil sich die Anteile zu eins summieren. Die linearen Terme beschreiben, wie jede Komponente für sich wirkt; die Mischterme (Produkte zweier Komponenten) beschreiben, wo zwei Komponenten zusammen mehr oder weniger bewirken als die Summe.

Die Tabelle ist eine Warnung. Das volle quadratische Modell hat für alle drei Zielgrößen das höhere korrigierte Bestimmtheitsmaß — aber das niedrigere für die Vorhersage, beim Nassabrieb sogar nur 0,34. Zehn Mischterme auf 25 Einzelexperimente sind zu viele: das Modell folgt dem Rauschen. Die Lösung liegt dazwischen. DoEStat geht vom quadratischen Modell rückwärts und behält nur die Mischterme, die signifikant sind; die linearen Terme bleiben immer.

Zwei bis vier Mischterme je Zielgröße genügen. Das Bestimmtheitsmaß für die Vorhersage liegt jetzt für alle drei über 0,91, der Anpassungsmangel ist nirgends signifikant.

Die Koeffizienten stehen in Pseudokomponenten: jede Komponente ist so umgerechnet, dass 0 ihre Untergrenze ist. Ein linearer Koeffizient ist dann die vorhergesagte Zielgröße an einer Ecke des zulässigen Raums — einer Rezeptur, die man tatsächlich mischen könnte. In echten Anteilen stünde dort die Vorhersage für „100 % Additiv“, eine Zahl ohne Bedeutung. Die Vorhersagen selbst sind in beiden Schreibweisen dieselben.

Varianzanalysen der drei Modelle

In der Varianzanalyse einer Mischung stehen die linearen Terme als eine Zeile: Die Frage, ob ein einzelner linearer Koeffizient null ist, hieße zu fragen, ob die reine Komponente die Zielgröße null hat. Sinnvoll ist die Frage, ob die Zielgröße überhaupt von der Rezeptur abhängt.

Quelle	Quadratsumme	df	Mittleres Quadrat	F	p
Modell	31340	6	5223	933,39	< 0,0001
Lineare Mischung	30959	4	7740	1383,07	< 0,0001
Pigment × Füllstoff	138,6	1	138,6	24,77	< 0,0001
Wasser × Additiv	275,2	1	275,2	49,18	< 0,0001
Residuen	100,7	18	5,596
Anpassungsmangel	67,34	14	4,810	0,58	0,8019
Reiner Fehler	33,39	4	8,348
Gesamt	31440	24

Quelle	Quadratsumme	df	Mittleres Quadrat	F	p
Modell	36,26	8	4,533	69,88	< 0,0001
Lineare Mischung	34,66	4	8,666	133,60	< 0,0001
Bindemittel × Pigment	0,8287	1	0,8287	12,78	0,0025
Pigment × Füllstoff	1,513	1	1,513	23,32	0,0002
Pigment × Wasser	0,9211	1	0,9211	14,20	0,0017
Pigment × Additiv	0,5558	1	0,5558	8,57	0,0099
Residuen	1,038	16	0,06486
Anpassungsmangel	0,7329	12	0,06107	0,80	0,6573
Reiner Fehler	0,3049	4	0,07623
Gesamt	37,30	24

Quelle	Quadratsumme	df	Mittleres Quadrat	F	p
Modell	730,6	6	121,8	91,86	< 0,0001
Lineare Mischung	707,2	4	176,8	133,36	< 0,0001
Pigment × Füllstoff	12,50	1	12,50	9,43	0,0066
Füllstoff × Wasser	6,280	1	6,280	4,74	0,0431
Residuen	23,86	18	1,326
Anpassungsmangel	21,67	14	1,548	2,83	0,1630
Reiner Fehler	2,192	4	0,5479
Gesamt	754,5	24

Schritt 6 / Optimierung

Die beste zulässige Rezeptur

Wie in den anderen Beispielen fasst die Wünschbarkeit die drei Ziele zu einer Zahl zusammen. Der Unterschied: Gesucht wird nicht in einem Würfel, sondern in dem Körper mit 28 Ecken — jede geprüfte Rezeptur muss alle Grenzen und beide verknüpfenden Bedingungen einhalten und sich zu 100 % ergänzen.

Die Gesamtwünschbarkeit beträgt 0,83. Die Viskosität trifft ihren Zielwert genau. Die Rezeptur nutzt den Raum aus: Additiv an der Untergrenze, Pigment knapp unter der Obergrenze, die Feststoffsumme mit 38,5 % nah an den erlaubten 40 %. Das Verhältnis von Bindemittel zu Pigment liegt mit 1,90 deutlich über dem Minimum — das viele Bindemittel senkt den Nassabrieb.

Gegenprobe

Was wirklich in den Daten steckt

Die Messwerte stammen aus diesen drei Modellen. Die Buchstaben stehen für die Abweichung des Anteils von einer Bezugsrezeptur (Bindemittel 40 %, Pigment 20 %, Füllstoff 15 %, Wasser 20 %, Additiv 5 %), als Anteil geschrieben: b für Bindemittel, p für Pigment, f für Füllstoff, w für Wasser, a für Additiv.

Viskosität = 100 + 40·b + 220·p + 180·f − 380·w + 1100·a − 3000·w·a + 1200·p·f  (σ = 2,0)
Deckvermögen = 96,5 − 4·b + 30·p + 6·f − 8·w − 250·p² + 40·p·f  (σ = 0,25)
Nassabrieb = 14 − 60·b + 25·p + 45·f + 20·w + 300·f² + 150·b·f  (σ = 1,0)

Bei der Viskosität hat die Auswertung genau die beiden Mischterme gefunden, die es gibt: Pigment × Füllstoff und Wasser × Additiv. Beim Deckvermögen steckt die Wahrheit in einem Quadrat des Pigments — die Sättigung, die das Spurdiagramm zeigt. Ein Scheffé-Modell kennt keine Quadrate; weil sich die Anteile zu eins summieren, erscheint p² dort als die Mischterme des Pigments mit allen anderen Komponenten. Genau diese vier hat die Auswertung behalten. Beim Nassabrieb ist die Zerlegung weniger eindeutig: gefunden wurden zwei Mischterme mit dem Füllstoff, die das wahre Füllstoff-Quadrat und seine Wechselwirkung mit dem Bindemittel im untersuchten Raum gut nachbilden, aber nicht dieselben Terme sind.

Was zählt, ist die Vorhersage. An der optimalen Rezeptur sind die wahren Werte 100,2 KU, 97,60 % und 8,6 µm — vorhergesagt waren 100,0, 97,37 und 10,1. Alle drei liegen im Vorhersagebereich; beim Nassabrieb ist die Wirklichkeit etwas besser als die Vorhersage.