Simulation statt Versuchsstand: ein Kühlkörper, ausgelegt mit Gauß-Prozessen

Schritt 2 / Versuchsplan

40 Punkte, die den Raum füllen

Ein klassischer Plan ist hier die falsche Wahl. Ein zentral zusammengesetzter Plan setzt seine Punkte auf Ecken, Flächen und die Mitte, kennt also nur drei Stufen je Faktor, und wiederholt die Mitte, um Streuung zu schätzen. Ein Simulator liefert bei gleicher Eingabe aber immer dieselbe Zahl; jede Wiederholung wäre verschenkte Rechenzeit. Und ob die Flächen sich wie ein Polynom zweiten Grades verhalten, weiß vorher niemand.

Ein raumfüllender Plan verteilt die Einzelexperimente stattdessen gleichmäßig über das Innere. DoEStat bietet dafür mehrere Familien an. Gewählt ist MaxPro (Joseph, Gul und Ba, 2015): Die Punkte liegen nicht nur im fünfdimensionalen Raum gut verteilt, sondern auch in jeder Projektion auf zwei, drei oder vier Faktoren. Das zählt, sobald sich ein Faktor als unwirksam herausstellt — dann fallen bei anderen Plänen Punkte aufeinander, und die Information schrumpft.

Die Planbewertung zeigt den Unterschied. Sphere Packing hält den größten Mindestabstand im vollen Raum, setzt dafür aber nur sieben verschiedene Werte je Faktor. Der zentral zusammengesetzte Plan hat drei. Bei beiden fallen Punkte in einer Projektion zusammen, das MaxPro-Kriterium ist unendlich. MaxPro und der Latin Hypercube haben 40 verschiedene Werte je Faktor, MaxPro verteilt sie in den Projektionen aber deutlich besser.

Schritt 4 / Gauß-Prozess

Ein Modell, das durch jeden Punkt geht

Für Simulationsdaten wählt man in DoEStat die Modellstrategie Kriging. Ein Gauß-Prozess setzt kein Polynom voraus. Er nimmt an, dass nahe beieinander liegende Einstellungen ähnliche Ergebnisse liefern, und schätzt aus den Daten, wie schnell diese Ähnlichkeit mit dem Abstand abnimmt — für jeden Faktor einzeln. Weil der Simulator nicht streut, geht die Fläche genau durch jeden gerechneten Punkt. Dazwischen sagt sie nicht nur einen Wert vorher, sondern auch, wie sicher sie sich ist.

Die Güte misst man bei einem Interpolator nicht mit R² — der wäre immer 1. Stattdessen wird jedes Einzelexperiment einmal weggelassen und aus den übrigen vorhergesagt (Leave-one-out). Q² ist der Anteil der Streuung, den diese Vorhersagen erklären. Zum Vergleich steht daneben, was ein quadratisches Polynom auf denselben Daten bei der gleichen Prüfung schafft.

Was der Prozess über die Faktoren gelernt hat

Die geschätzten Längenskalen sagen, über welche Strecke (in kodierten Einheiten, der Bereich ist 2 breit) sich eine Zielgröße entlang eines Faktors merklich ändert. Eine kleine Zahl heißt: empfindlich. Eine sehr große heißt: In dieser Richtung ist die Fläche flach — der Faktor wirkt nicht.

Die Physik ist darin wiederzuerkennen, ohne dass sie jemand vorgegeben hätte: Die Dicke der Grundplatte hat für Druckverlust und Wärmewiderstand praktisch keine Bedeutung, für die Masse sehr wohl. Der Volumenstrom wirkt auf Wärme und Druck, die Masse kümmert er nicht. Die Wichtigkeit je Faktor macht das als Anteil an der Streuung der Fläche greifbar:

„Haupteffekt“ ist der Anteil, den ein Faktor allein erklärt; „gesamt“ schließt sein Zusammenspiel mit den anderen ein. Beim Druckverlust liegt „gesamt“ deutlich über dem Haupteffekt: Rippenhöhe, Rippenabstand und Volumenstrom wirken dort gemeinsam auf die Strömungsgeschwindigkeit. Die Werte sind Monte-Carlo-Schätzungen über den Versuchsraum und streuen um einige Prozentpunkte: Für die Rangfolge der Faktoren reichen sie, für die Nachkommastelle nicht.

Schritt 6 / Sweet Spot

Drei Grenzen, ein Fenster

Die Wünschbarkeit übersetzt jede Zielgröße in eine Zahl zwischen 0 (an der Grenze) und 1 (so gut wie nötig) und sucht die Einstellung, bei der das gewichtete Mittel am größten ist. Der Wärmewiderstand zählt dreifach, der Druckverlust doppelt, die Masse einfach. Optimiert wird direkt auf den Flächen des Gauß-Prozesses.

Erst nachschärfen, dann bauen

Ein Optimum auf einem Emulator ist eine Vorhersage. Bevor etwas gebaut wird, lässt man den Simulator an genau dieser Einstellung rechnen — das kostet eine Viertelstunde und sagt, ob der Emulator dort stimmt. Ist er daneben, kommt die Simulation in die Daten, der Prozess wird neu angepasst, und die Suche beginnt von vorn. Hier waren dazu zwei zusätzliche Simulationen nötig:

In der ersten Runde lag der Druckverlust 3,8 Pa über der Vorhersage — gut eineinhalb Standardfehler, in diesem steilen Bereich nicht überraschend. Mit dem neuen Punkt verschiebt sich das Optimum zu mehr Luft und etwas größerem Rippenabstand. Nach der dritten Runde stimmen Emulator und Simulator auf unter ein Prozent überein; die Suche ist abgeschlossen.

Der Sweet Spot liegt bei 1 mm dünnen Rippen und 4 mm Grundplatte — beide an ihrer Untergrenze, weil sie nur Masse kosten und kaum kühlen. Die 28 Rippen stehen 2,7 mm auseinander und sind 39 mm hoch, der Lüfter fördert 37,5 m³/h. Die niedrigste Einzelwünschbarkeit hat die Masse (0,17): Jeder Millimeter Rippenhöhe, der den Wärmewiderstand senkt, legt Aluminium zu. Begrenzend für das Gesamtergebnis ist trotzdem der Wärmewiderstand — er zählt dreifach, und DoEStat nennt ihn deshalb am Optimum als das Ziel, das D am stärksten drückt.

Alle drei Zielgrößen in einem Bild

Die überlagerte Darstellung zeigt den Spielraum um den Sweet Spot: die Höhenlinien jeder Zielgröße in ihrer Farbe, die Grenzen als kräftige gestrichelte Linien, hinterlegt der Bereich, in dem alle drei eingehalten sind.

Wohin die nächste Simulation ginge

Wer weiterrechnen will, bekommt vom Gauß-Prozess zwei Vorschläge: den Punkt, an dem er sich am unsichersten ist, und den Punkt, der den Wärmewiderstand am wahrscheinlichsten unter das bisher Beste drückt (erwartete Verbesserung). Beide liegen in Ecken des Raums — der erste, weil dort am wenigsten bekannt ist, der zweite, weil er nur auf den Wärmewiderstand schaut und Druck und Masse nicht kennt. Für die Auslegung bleibt deshalb die Wünschbarkeit maßgeblich.

Bilanz

Was die Simulation gebracht hat

42 Simulationen und drei Prototypen für fünf Faktoren und drei Zielgrößen. Ein Prototyp-Programm, das dieselbe Frage am Windkanal beantwortet, hätte mit einem zentral zusammengesetzten Plan 43 gefräste Kühlkörper gebraucht — und hätte mit drei Stufen je Faktor die Krümmung des Druckverlusts nur grob erfasst.

Der raumfüllende Plan hat dem Gauß-Prozess die Information geliefert, die er braucht: viele verschiedene Werte je Faktor und gute Projektionen, sodass zwei praktisch unwirksame Richtungen nichts gekostet haben. Der Prozess hat daraus selbst erkannt, welcher Faktor für welche Zielgröße zählt, und angegeben, wo er sich sicher ist. Das Nachschärfen hat zwei Viertelstunden Rechenzeit gekostet und die Vorhersage am Sweet Spot von „ungefähr“ auf „unter ein Prozent“ gebracht.

Gegen die Wahrheit: Hier ist der Simulator die Wahrheit, und die Spalte „Simulation an der Einstellung“ in der Optimierungstabelle zeigt sie: Am Sweet Spot weicht der Emulator bei keiner Zielgröße um mehr als ein Prozent ab. Was die Prototypen zusätzlich zeigen, kann kein Emulator lernen — die Lücke zwischen Simulationsmodell und Wirklichkeit. Dafür bleibt die Bestätigung am echten Teil unverzichtbar.